pタグの中身をlocalstorageに保存するには

getElementById に、innerHTMLを付ければOKですね。

var key = document.getElementById("myid").innerHTML;
		var value = document.getElementById("myid2").innerHTML;
		if (key && value){
			storage.setItem(key, value);
		}
		key = "";
		value = "";

<?php
  $code = array('3808','8893');
  $name = array('オウケイウェイヴ','新日本建物');
?>


<h4>お気に入り銘柄</h4>
<p id = "code"><?php echo $code&#91;0&#93;; ?></p>
<p id = "name"><?php echo $name&#91;0&#93;; ?></p>