Category: Python

Ax = λEx
λを固有値、xを固有ベクトルと言う
(A – λE)x = 0
線形変換でベクトルの回転が起こらず、拡大・縮小のみで表現

2×2の行列の場合、固有値と固有ベクトルは必ず2ペア存在する。

import numpy as np

import numpy.linalg as LA
a = np.array([[1,0],[0,2]])
print(a)

print(LA.eig(a))

b = np.array([[2,5],[3, -8]])

print(b)
print(LA.eig(b))

[vagrant@localhost python]$ python app.py
[[1 0]
[0 2]]
(array([1., 2.]), array([[1., 0.],
[0., 1.]]))
[[ 2 5]
[ 3 -8]]
(array([ 3.32455532, -9.32455532]), array([[ 0.96665615, -0.40390206],
[ 0.25607791, 0.91480224]]))

なるほど、確かに2ペアあります。
LA.eig(x)が固有値、固有ベクトルの計算ですね。

c = np.random.randint(-10,10,size=(3,3))

w,v = LA.eig(c)
print(w)
print(v)

[vagrant@localhost python]$ python app.py
[ 4.97854958+7.44028681j 4.97854958-7.44028681j -9.95709916+0.j ]
[[ 0.08381118-0.45630028j 0.08381118+0.45630028j 0.41009134+0.j ]
[ 0.81099969+0.j 0.81099969-0.j -0.22863604+0.j ]
[ 0.30533936+0.18388344j 0.30533936-0.18388344j 0.88292166+0.j ]]

ロジスティック回帰
-> 線形回帰式をシグモイド関数にかけて確率値と解釈

f(x) = 1 / (1 + exp^(-ax)) = a・exp(-ax) / (1 + exp^(-ax))^2

import sympy

x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')

print(type(x))

[vagrant@localhost python]$ python app.py

変数を使っていく

import sympy

x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
expr = x**2 + y + 1
print(expr)

ほう
[vagrant@localhost python]$ python app.py
x**2 + y

x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
expr = x**2 + y + 1
print(expr.subs(x,3))
print(expr.subs(x,y))

代入も出来る。完全に再現できるわけね。当たり前か。
[vagrant@localhost python]$ python app.py
y + 10
y**2 + y + 1

xとyの代入も

print(expr.subs([(x,3),(y,2)]))

式の展開

expr = (x + 1)**2
print(sympy.expand(expr))

こいつは凄い
[vagrant@localhost python]$ python app.py
x**2 + 2*x + 1

因数分解

print(sympy.factor(x**3 - x**2 - 3*x + 3))
print(sympy.factor(x*y + x + y + 1))

[vagrant@localhost python]$ python app.py
(x – 1)*(x**2 – 3)
(x + 1)*(y + 1)
何これー

print(sympy.solve(x**2 - 3*x +2))
print(sympy.solve(x**2 + x + 1))

Iは虚数ですね。
[vagrant@localhost python]$ python app.py
[1, 2]
[-1/2 – sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2]

で、肝心の微分
来ましたねー

print(sympy.diff(x**3 + 2*x**2 + x))

expr = x**3 + y**2 - y
print(sympy.diff(expr, x))
print(sympy.diff(expr, y))

[vagrant@localhost python]$ python app.py
3*x**2 + 4*x + 1
3*x**2
2*y – 1

odeintは1階の常微分方程式を解くのに有効な積分器

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt 

def func(y, x, a):
	dydx = a*y
	return dydx

a = 1
y0 = 1
x = np.arange(0, 3, 0.01)

y = odeint(func, y0, x, args=(a,))

plt.plot(x, y, label='exp')
plt.legend()
plt.savefig('01')

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np 
from scipy.integrate import odeint
from numpy import sin, cos, pi 
from matplotlib.animation import FuncAnimation 

def func(state, t):
	dydt = np.zeros_like(state)
	dydt[0] = state[1]
	dydt[1] = -(G/L)*sin(state[0])
	return dydt 

G = 9.8
L = 1

th1 = 30.0
w1 = 0.0

state = np.radians([th1, w1])

dt = 0.05
t = np.arange(0.0, 20, dt)

sol = odeint(func, state, t)

theta = sol[:, 0]
x = L * sin(theta)
y = - L * cos(theta)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, autoscale_on=False, xlim=(-L, L), ylim=(-L, L))
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()

line, = ax.plot([], [], 'o-', lw=2)

def animate(i):
	thisx = [0, x[i]]
	thisy = [0, y[i]]

	line.set_date(thisx, thisy)
	return line,

ani = FuncAnimation(fig, animate, frames=np.arange(0, len(t)), interval=25, blit=True)

plt.savefig('01')

極限とは、xの値をある一定値αに限りなく近づけるとき

limit(sin(x)/x, x, 0)
limit(x, x, oo)
limit(1/x,x, oo)
limit(x**x, x, 0)

和集合、積集合、部分集合などの計算の為、pythonのsetを

s = {1, 2, 2, 3, 1, 4}

print(s)
print(type(s))

[vagrant@localhost python]$ python app.py
{1, 2, 3, 4}

s = {i**2 for i in range(5)}

print(s)

s = {1, 2, 2, 3, 1, 4}
print(s)
print(len(s))

[vagrant@localhost python]$ python app.py
{0, 1, 4, 9, 16}
{1, 2, 3, 4}
4

和集合

s1 = {0, 1, 2}
s2 = {1, 2, 3}
s3 = {2, 3, 4}

s_union = s1 | s2
print(s_union)

s_union = s1.union(s2)
print(s_union)

セットで計算

s1 = {0, 1, 2}
s2 = {1, 2, 3}
s3 = {2, 3, 4}

s_union = s1.union(s2,s3)
print(s_union)

等差数列の和の公式は
S = 1/2*n(a + l)
これは基本中の基本でしょう。
pythonで表現します。

範囲の足し算

sum = 0
for i in range(1, 100):
	sum += i
print(sum)

[vagrant@localhost python]$ python myapp.py
4950

forでなく、sumを使う場合

n =99
print(sum(range(1, n + 1)))

[vagrant@localhost python]$ python myapp.py
4950
答えは同じです

公式を使う場合

def sn(a, lim):
	n = int(lim) / a
	l = n * a
	return (a + l) * n / 2
print(sn(3,999))

[vagrant@localhost python]$ python myapp.py
166833.0

公式でもできるが、rangeやsumでできてしまうって事ね。
ただ、これ、気象計算や原子力など計算量が大きくなった場合に何が一番早いかってところだな。