Category: Blockchain

署名をシリアライズする場合、署名のr, sをエンコードする必要がある。しかし、pointのように圧縮はできない
署名をシリアライズする標準をDERフォーマット(Distinguished Encoding Rules)と呼ぶ。

### DER署名
1. 0x30バイトで開始
2. 署名の残りの長さをエンコード(0x44または0x45)して追加
3. マーカーバイト0x02を追加
4. rをビッグエンディアン整数としてエンコード　ただしrの先頭バイトが0x80以上の時は0x00を付与、長さをrの先頭に追加
5. マーカーバイト0x02を追加
6. sをビッグエンディアン整数としてエンコード　ただしsの先頭バイトが0x80以上の時は0x00を付与、長さをsの先頭に追加

先頭ビットが1の場合は負の数。DERは負のエンコードを許容する。

    def der(self):
        rbin = self.r.to_bytes(32, byteorder='big')
        rbin = rbin.lstrip(b'\x00')
        if rbin[0] & 0x80:
            rbin = b'\x00' + rbin 
        result = bytes([2, len(rbin)]) + rbin
        sbin = self.s.to_bytes(32, byteorder='big')
        sbin = sbin.lstrip(b'\x00')
        if sbin[0] & 0x80:
            sbin = b'\x00' + sbin
        result += bytes([2, len(sbin)]) + sbin
        return bytes([0x30, len(result)]) + result

r, sが定まれば、DERフォーマットが求められる。

from ecc import Signature

r = 0x37206a0610995c58074999cb9767b87af4c4978db68c06e8e6e81d282047a7c6
s = 0x8ca63759c1157ebeaec0d03cecca119fc9a75bf8e6d0fa65c841c8e2738cdaec

sig = Signature(r, s)
print(sig.der().hex())

$ python3 main.py
3045022037206a0610995c58074999cb9767b87af4c4978db68c06e8e6e81d282047a7c60221008ca63759c1157ebeaec0d03cecca119fc9a75bf8e6d0fa65c841c8e2738cdaec

    @classmethod
    def parse(self, sec_bin):
        if sec_bin[0] == 4:
            x = int.from_bytes(sec_bin[1:33], 'big')
            y = int.from_bytes(sec_bin[33:65], 'big')
            return S256Point(x=x, y=y)
        is_even = sec_bin[0] == 2
        x = S256Field(int.from_bytes(sec_bin[1:], 'big'))
        alpha = x**3 + S256Field(B)
        beta = alpha.sqrt()
        if beta.num % 2 == 0:
            even_beta = beta 
            odd_beta = S256Field(P - beta.num)
        else:
            even_beta = S256Field(P - beta.num)
            odd_beta = beta
        if is_even:
            return S256Point(x, even_beta)
        else:
            return S256Point(x, odd_beta)

公開鍵が04, 03, 02かで秘密鍵の点を戻す

SEC圧縮フォーマットは以下の通り

from ecc import S256Point, PrivateKey

p = PrivateKey(5001)
print(p.point.sec(compressed=True).hex())

楕円曲線暗号の公開鍵は(x, y)形式の一つの座標
ECDSA公開鍵をシリアライズする方法はSECフォーマット(Standards for Efficient Cryptography)と呼ばれる

1. プレフィックスバイトは0x04
2. 32バイトのビッグエンディアン整数としてx座標を追加
3. 32バイトのビッグエンディアン整数としてy座標を追加

圧縮SECフォーマットの場合、yが偶数の場合は0x02とし、奇数の場合は0x03とする。

    def sec(self, compressed=True):
        if compressed:
            if self.y.num % 2 == 0:
                return b'\x02' + self.x.num.to_bytes(32, 'big')
            else:
                return b'\x03' + self.x.num.to_bytes(32, 'big')
        else:
            return b'\x04' + self.x.num.to_bytes(32, 'big') + self.y.num.to_bytes(32, 'big')

from ecc import S256Point, PrivateKey

pkey = PrivateKey(5000)
p = pkey.point.sec(compressed=False).hex()
print(p)

$ python3 main.py
04ffe558e388852f0120e46af2d1b370f85854a8eb0841811ece0e3e03d282d57c315dc72890a4f10a1481c031b03b351b0dc79901ca18a00cf009dbdb157a1d10

シリアライズとは、複数の要素を一列に並べる操作や処理のこと。単にシリアライズといった場合には、プログラムの実行状態や複雑なデータ構造などを一つの文字列やバイト列で表現する「直列化」を指すことが多い。

class PrivateKey:

    def __init__(self, secret):
        self.secret = secret 
        self.point = secret * G

    def hex(self):
        return '{:x}'.format(self.secret).zifll(64)

class PrivateKey:

    def __init__(self, secret):
        self.secret = secret 
        self.point = secret * G

    def hex(self):
        return '{:x}'.format(self.secret).zifll(64)

    def sign(self, z):
        k = randint(0, N-1)
        r = (k*G).x.num
        k_inv = pow(k, N-1, N)
        s = (z + r*self.secret) * k_inv % N
        if s > N/2
            s = N - s
        return(r, s)

kがrandintではなく、一意であるようにする。

    def sign(self, z):
        k = self.deterministic_k(z)
        r = (k*G).x.num
        k_inv = pow(k, N-1, N)
        s = (z + r*self.secret) * k_inv % N
        if s > N/2
            s = N - s
        return(r, s)

    def deterministic_k(self, k):
        k = b'\x00' * 32
        v = b'\x01' * 32
        if z > N:
            z -= N
        z_bytes = z.to_bytes(32, 'big')
        secret_bytes = self.secret.to_bytes(32, 'big')
        s256 = hashlib.sha256 
        k = hmac.new(k, v + b'\x00' + secret_bytes + z_bytes, s256).giest()
        v = hmac.new(k, v, s256).digest()
        k = hmac.new(k, v + b'\x01' + secret_bytes + z_bytes, s256).giest()
        v = hmac.new(k, v, s256).digest()
        while True:
            v = hmac.new(k, v, s256).digest()
            candidate = int.from_bytes(v, 'big')
            if candidate >= 1 and candidate < N:
                return candidate 
            k = hmac.new(k, v + b'\x00', s256).giest()
            v = hmac.new(k, v, s256).digest()

### 署名検証
1. s_inv(1/s)は、群の位数n上で、フェルマーの小定理
2. u = z/s、群の位数であるnでモジュロ演算
3. v = r/s、群の位数であるnでモジュロ演算
4. uG + vP は　Rになる
5. x座標がrであることを確認

class Signature:

    def __init__(self, r, s):
        self.r = r
        self.s = s

    def __repr__(self):
        return 'Signature({:x},{:x})'.format(self.r, self.s)


class S256Point(Point):
   ...

   def verify(self, z, sig):
        s_inv = pow(sig.s, N - 2, N)
        u = z * s_inv % N 
        v = sig.r * s_inv % N
        total = u * G + v * self
        return total.x.num == sig.r

### 署名の作成
1. zが与えられており、eG = Pを満たすeがわかっている
2. ランダムにkを選ぶ
3. R=kGとrを算出
4. s = (z+re)/kを算出
5. 署名は(r, s)になる

from ecc import S256Point, G, N
from helper import hash256

e = int.from_bytes(hash256(b'my secret'), 'big')
z = int.from_bytes(hash256(b'my message'), 'big')
k = 1234567890
r = (k*G).x.num 
k_inv = pow(k, N-2, N)
s = (z+r*e) * k_inv % N 
point = e*G
print(point)
print(hex(z))
print(hex(r))
print(hex(s))

$ python3 main.py
S256Point(028d003eab2e428d11983f3e97c3fa0addf3b42740df0d211795ffb3be2f6c52, 0ae987b9ec6ea159c78cb2a937ed89096fb218d9e7594f02b547526d8cd309e2)
0x231c6f3d980a6b0fb7152f85cee7eb52bf92433d9919b9c5218cb08e79cce78
0x2b698a0f0a4041b77e63488ad48c23e8e8838dd1fb7520408b121697b782ef22
0xbb14e602ef9e3f872e25fad328466b34e6734b7a0fcd58b1eb635447ffae8cb9

Pointは検証者に知られる必要がある。

P(公開鍵) = e(秘密鍵) * G
公開鍵は離散対数となっている。
公開鍵は座標(x, y)で、それぞれ256ビット

### 署名と検証
署名をr, s, 署名対象のハッシュをz、署名者の公開鍵をPとする
u = z / s, v = r / sを計算する
uG + vP = Rを計算する
点Rの x座標がrと同じならば署名は有効

### 署名の検証
ドキュメントの署名ハッシュがz
rはランダム
sが署名

from ecc import S256Point, G, N
z = 0xbc62d4b80d9e36da29c16c5d4d9f11731f36052c72401a76c23c0fb5a9b74423
r = 0x37206a0610995c58074999cb9767b87af4c4978db68c06e8e6e81d282047a7c6
s = 0x8ca63759c1157ebeaec0d03cecca119fc9a75bf8e6d0fa65c841c8e2738cdaec
px = 0x04519fac3d910ca7e7138f7013706f619fa8f033e6ec6e09370ea38cee6a7574
py = 0x82b51eab8c27c66e26c858a079bcdf4f1ada34cec420cafc7eac1a42216fb6c4
point = S256Point(px, py)
s_inv = pow(s, N-2, N)
u = z * s_inv % N
v = r * s_inv % N
print((u*G + v*point).x.num == r)

検証
from ecc import S256Point, G, N
z = 0xec208baa0fc1c19f708a9ca96fdeff3ac3f230bb4a7ba4aede4942ad003c0f60
r = 0xac8d1c87e51d0d441be8b3dd5b05c8795b48875dffe00b7ffcfac23010d3a395
s = 0x68342ceff8935ededd102dd876ffd6ba72d6a427a3edb13d26eb0781cb423c4
px = 0x887387e452b8eacc4acfde10d9aaf7f6d9a0f975aabb10d006e4da568744d06c
py = 0x61de6d95231cd89026e286df3b6ae4a894a3378e393e93a0f45b666329a0ae34
point = S256Point(px, py)
s_inv = pow(s, N-2, N)
u = z * s_inv % N
v = r * s_inv % N
print((u*G + v*point).x.num == r)

z = 0x7c076ff316692a3d7eb3c3bb0f8b1488cf72e1afcd929e29307032997a838a3d
r = 0xeff69ef2b1bd93a66ed5219add4fb51e11a840f404876325a1e8ffe0529a2c
s = 0xc7207fee197d27c618aea621406f6bf5ef6fca38681d82b2f06fddbdce6feab6
px = 0x887387e452b8eacc4acfde10d9aaf7f6d9a0f975aabb10d006e4da568744d06c
py = 0x61de6d95231cd89026e286df3b6ae4a894a3378e393e93a0f45b666329a0ae34

いずれもTrueになる。

secp256k1は
a=0, b=7 すなわち　y**2 = x **3 + 7
p(※有限体の素数prime) = 2**256 – 2**32 – 977
Gx = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798
Gy = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8
n(※群位) = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141
すなわち2*256は32バイトで記憶することができ、秘密鍵の記憶が比較的簡単にできるという特徴を持つ

gx = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798
gy = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8
p = 2**256 – 2**32 – 977
print(gy**2 % p == (gx**3 + 7) % p)
$ python3 test.py
True

gx = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798
gy = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8
p = 2**256 - 2**32 - 977
n = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141
x = FieldElement(gx, p)
y = FieldElement(gy, p)
seven = FieldElement(7, p)
zero = FieldElement(0, p)
G = Point(x, y, zero, seven)
print(n*G)

256ビットの数を常に64文字で表示する。

P = 2**256 - 2**32 - 977

class S256Field(FieldElement):

    def __init__(self, num, prime=None):
        super().__init(num=num, prime=P)
    
    def __repr__(self):
        return '{:x}'.format(self.num).zfill(64)

a, bの初期化

class S256Point(Point):

    def __init__(self, x, y, a=None, b=None)
        a, b = S256Field(A), S256Field(B)
        if type(x) == int:
            super().__init__(x=S256Field(x), y=S256Field(y), a=a, b=b)
        else:
            super().__init__(x=x, y=y, a=a, b=b)

群の位数

N = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141

class S256Point(Point):
    def __rmul__(self, coefficient):
        coef = coefficient % N
        return super().__rmul__(coef)

x, yも定数として定義Gしておく

G = S256Point(
    0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798,
    0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8
)

from ecc import G, N
print(vars(N*G))
$ python3 main.py
{‘a’: 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, ‘b’: 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007, ‘x’: None, ‘y’: None}

群とは
-> ある二項演算とその対象となる集合とを合わせて見たときに結合性を伴い単位元と逆元を備えるものをいう。
-> 演算が一つ入った集合で、「結合法則」、「単位元の存在」、「逆元の存在」の３つの条件を満たすものを群という

(a + b)G = ((a + b)%n)G

y**2 = x**3 +7 で(15, 86)

from ecc import FieldElement, Point
 
prime = 223
a = FieldElement(num=0, prime=prime)
b = FieldElement(num=7, prime=prime)
x = FieldElement(num=15, prime=prime)
y = FieldElement(num=86, prime=prime)
p = Point(x, y, a, b)
inf = Point(None, None, a, b)
product = p
count = 1 
while product != inf:
    product += p 
    count += 1
print(count)

どこまで加算すれば無限遠点になるかを計算すれば良いんですね。

from ecc import FieldElement, Point
 
prime = 223
a = FieldElement(num=0, prime=prime)
b = FieldElement(num=7, prime=prime)
x = FieldElement(num=192, prime=prime)
y = FieldElement(num=105, prime=prime)
p = Point(x, y, a, b)
print(vars(p+p))

$ python3 main.py
{‘a’: FieldElement_223(0), ‘b’: FieldElement_223(7), ‘x’: FieldElement_223(49), ‘y’: FieldElement_223(71)}

p * p や 2*pとすると、以下のようなエラーとなってしまう。
$ python3 main.py
{‘a’: FieldElement_223(0), ‘b’: FieldElement_223(7), ‘x’: FieldElement_223(49), ‘y’: FieldElement_223(71)}
Traceback (most recent call last):
File “/home/vagrant/dev/blockchain/main.py”, line 10, in
print(vars(p*p))
TypeError: unsupported operand type(s) for *: ‘Point’ and ‘Point’

Traceback (most recent call last):
File “/home/vagrant/dev/blockchain/test.py”, line 9, in
print(p+p)
File “/home/vagrant/dev/blockchain/ecc.py”, line 89, in __add__
if self == other and self.y == 0 * self.x:
TypeError: unsupported operand type(s) for *: ‘int’ and ‘FieldElement’

他のパターン
x = FieldElement(num=143, prime=prime)
y = FieldElement(num=98, prime=prime)
$ python3 main.py
{‘a’: FieldElement_223(0), ‘b’: FieldElement_223(7), ‘x’: FieldElement_223(64), ‘y’: FieldElement_223(168)}

x = FieldElement(num=47, prime=prime)
y = FieldElement(num=71, prime=prime)
$ python3 main.py
{‘a’: FieldElement_223(0), ‘b’: FieldElement_223(7), ‘x’: FieldElement_223(36), ‘y’: FieldElement_223(111)}

4 * (47, 71) の場合
$ python3 main.py
{‘a’: FieldElement_223(0), ‘b’: FieldElement_223(7), ‘x’: FieldElement_223(194), ‘y’: FieldElement_223(51)}

8 * (47, 71) の場合
$ python3 main.py
{‘a’: FieldElement_223(0), ‘b’: FieldElement_223(7), ‘x’: FieldElement_223(116), ‘y’: FieldElement_223(55)}