v-modelはselect boxでも基本はinput textと同じ。
初期値をセットする。
<?php
$value = "4m,6m,9m,12m";
$data = explode(",",$value);
?>
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Document</title>
</head>
<body>
<div id="app">
<?php
echo "<select v-model=\"size\" name=\"hoge\">";
foreach($data as $value){
echo "<option value=\"" .$value. "\">" .$value. "</>";
}
echo "</select>";
?>
<br><br>
<form action="#" method="POST">
<input type="text" name="size" v-model="size">
<button type="submit" class="btn btn-default btn-order">送信</button>
</form>
</div>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vue@2.6.12/dist/vue.js"></script>
<script>
new Vue({
el: '#app',
data: {
size: '<?php echo $data[0]; ?>',
}
})
</script>
</body>
</html>

OKでしょう。
Vueもいいが、Reactでちゃんとアプリを作りたいな。