buttonをclickするごとに、var iを++;して、表示を変えます。
<body>
<button class="button">写真を表示</button><br>
<img src="img/01.gif">
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.0.0/jquery.min.js"></script>
</body>
<script>
var img = ['img/01.gif','img/02.gif','img/03.gif','img/04.gif'];
var i = 1;
$(document).ready(function(){
$(".button").click(function(){
$("img").attr("src", img[i]);
i++;
if(i == (img.length)){
i = 0;
}
});
});
</script>
ははーん、これは色々応用できそうですね。
